Montrer que si ; est un couple solution de l'équation définie dans la partie A , alors ² 1 et ² sont des entiers consécutifs puissants. 1.D eterminer les dix premiers termes de la suite. a. Montrer que, si les couples (U 1,V 1) et (U 2,V 2) vérifient le théorème de Bezout pour A et B, le polynôme V 1 −V 2 (resp. On suppose que A et B sont premiers entre eux. On en déduit que S est un multiple 3. Réciproquement, on remplace dans l'équation soit : et donc . Chaque entier est congruà0,1 ou2 modulo3,maispasàplusqu’unparmilestrois.Etc. III. Exercice 19.— (Autour de la série harmonique) On considère, pour tout n 1, le réel Indication pourl’exercice11 N 1.C’est un calcul de réduction au même dénominateur. Exercices corrigés sur l'arithmétique en 2nd. 1.Montrer que si n 2N un entier positif non nul alors 2 divise 3n + 1. 2. Nombres premiers entre eux Exercice 16. Montrer que 34 + 45 peut s’écrire sous la forme d’un produit de deux facteurs entiers. Soient , et - deux entiers naturels. a) Montrer que n6 1 mod(9) et donc que 72n 1 mod(9). 1. On d e nit la suite (F n) n2N de Fibonacci par F 0 = F 1 = 1 et F n+1 = F n + F n 1. Si tu montres que x= 2k avec k appartenant à N, tu montres que x est un entier (pair). Si a et b divisent n et si a et b sont premiers entre eux, alors ab divise n. 1.Montrer qu’il existe deux entiers k et k0 tels que : ka = k0b. 1. 5 1) a) Soit a2N, montrer que 7a 1 mod(9) si et seulement si ae divisible par 3. b) Montrer que, pour tout n 0, n3 0;1 ou 1 mod(9). 1) Montrer que (m-n) est (m+n) ont la même parité. Exercice 2. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. Montrer que 5n +19 est toujours divisible par 4 si n ∈ N. 5. Le Cassini des futurs MPSI (vol. 4. Montrer que l'entier naturel B , -@ est un nombre puissant. Montrer que nest divisible par 3 Exemple3 : Montrer que si x ≡a (mod m) alors pour tout k ∈Z , x ≡a −km (mod m) Applications de l’exemple 3 et raisonner avec des entiers. 2. Deux entiers relatifs a et b sont dits congrus modulo n si leur différence est divisible par n, c'est-à-dire si a est de la forme b + kn avec k entier. Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f. Montrer 1 . 2) Voici deux exemples mettant un œuvre une même procédure pe rmettant de déterminer si un nombre entier naturel est divisible par 7 ou non. On prend k = b2. Les premiers entiers premiers sont : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 ... Euclide a montré qu'il existait une infinité de nombres … 1) Donner tous les nombres entiers naturels à un et deux chiffres divisibles par 7. On suppose que tous les ai sont des entiers. 1) Montrer que ab est d’ordre fini et que l’ordre de ab divise le ppcm des ordres de a et b. 2.Montrer que F N est pair si et seulement si 3 divise N + 1. 3.Trouver tous les entiers positifs n tels que 10 divise 3n + 1. 2) Montrer que si G est ab´elien, l’ensemble des ´el´ements d’ordre fini de G forme un sous-groupe. b) En déduire que ne divisible par 3 et conclure. On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que PGCD(b; c) = 1. Exemple 1 : Montrer que si a ≡b (mod m) et 0 et ≤a 3, alors F nest divisible par 22 + 1. c) En déduire que si F nest premier, alors il existe un entier ktel que n= 2k. b) Montrer alors que : ∀n ∈ℕ* \ 1{}, 1 ln ln 1n u nn n + ≤ ≤ + . Pour certaines classes de nombres, il y a une méthode évidente, par exemple pour un rationnel, on l'écrit sous la forme d'une fraction a/b en nombres entiers. Exercice 4 Montrer que si deux entiers premiers entre eux a et b divisent n, alors le produit ab divise également n. Solution de l’exercice 4 Comme a divise n, on peut écrire n = ak pour un certain entier k. Mais alors b divise ak et comme il est premier avec a, il divise k. Dé nition . Montrer que le produit infini Y n≥2 1− 1 n est divergent, et que Y∞ n=2 1− 1 n = 0. Supposons qu’elle soit vraie à l’ordre n−1, pour tout k compris entre 0 et n−2. Un rép-unit est un entier naturel dont l'écriture décimale ne comprend que le chiffre $1$ comme par exemple $11$ ou encore $111 111$. 3.Montrer que A est l’ensemble des entiers premiers avec 10. Exercice 24 Montrer que, pour n un entier positif, on a n13 n (mod 2) et que n13 n (mod 5); Cet entier kest appelé ordre de xet est noté op xq . Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que : si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a. Devoir de spécialité 11 ( TS1-4 pour le lundi 7 mai 2018) Exercice 1 Les nombres de la forme 2n 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne. Exercice 23 Montrer que 105 est inversible dans Z=143Z et calculer son inverse. le polynôme U 1 −U 2) Montrer que si Y n≥q u n converge, alors les u n sont tous non nuls et lim n→∞ u n = 1. Pour tout diviseur premier p de b la valuation du membre droit vaut v p(b). On en déduit que S est. Il existe donc deux entiers k et k' tels que et . Indication H Correction H Vidéo [000337] Exercice 14 ... Soit X l’ensemble des nombres premiers de la forme 4k+3 avec k 2N. Montrer que 8 est un diviseur de (a + 8). Soient a, b et n trois entiers non nuls. 2.Montrer que a divise k0. et que v est nilpotent. a) Soit n2N. 4. [S] 2. 2) On considère un entier n 0 tel que 9 divise 7n+n3. (b) Existe-t-il des entiers naturels y et n tels que y2 = 2n +1? Démontrer que, si a et b sont des entiers premiers entre eux, il en est de même des entiers a+b et ab. 5.Si u1 p a k et pour n 1 montrer que un p a 2 p a k 2 p a 2n 1: 6.Application : Calculer p ... q vq par q! Ces u k sont donc des entiers et la relation qui précède assure que les entiers a 1, …, a n sont premiers dans leur ensemble. 2) Déterminer les nombres entiers naturels x et y qui vérifient : x²-y²=42 Corrigé: 1) Supposons que( m-n) est pair. Donc S = 3. k, avec . 2 Montrer que le produit de deux entiers naturels consécutifs est pair et en déduire que, si on retranche 1 au carré d'un entier impair, on obtient un multiple de 8. (c) Montrer que z3 = 2n −1 n’a pas de solution si n > 1… Congruences Exercice 21. Nombres pairs, ... Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair. 1.Montrer que X est non vide. c) En déduire un équivalent très simple de un lorsque n est au voisinage de + ∞. Ainsi, les solutions sont de la forme et , avec k entier quelconque. Exercice 6.2 Soit z = PD p 3+i 1 i. Donner la forme exponentielle, puis la forme algébrique de z2019. On dit que xest primitif modulo 29 si op xq 28. TD 6 : Nombres complexes I Forme algébrique, forme exponentielle Exercice 6.1 Identité du parallélogramme F Montrer que pour tous 2z;z0 2C, jz +z0j2 +jz z0j2 = 2j zj2 +jz0j2.Interpréter géométriquement. Au programme : détermination de la parité d'entiers relatifs, problèmes sur les nombres pairs et impairs 3 Soit a = 8 ×9 × 10 × × 100. Alors (a k)n = b+ mb2 pour un m entier. D emonstration. 3) Montrer que si les ordres de a et b sont premiers entre eux, l’ordre de ab est ´egal au ppcm des ordres de a et de b.! , on a la relation suivante, valable si 0 ≤ k ≤ n−1, (41) Xk p=0 n p = Xk p=0 2p n−p−1 k −p . b) On a vu que : donc Soit encore : et donc le couple (-48 ; 36) est une solution particulière de l'équation. k. l'entier tel que, k = n + 1. Soit xun entier premier avec 29. 1. Soit deux entiers consécutifs n et n+1. Soit . Soit kun entier naturel. (b)En utilisant qu’elle commute avec E 1,i pour tout i ∈[[1n]], en déduire que A est colinéaire à I n. 4./Les matrices de rang 1: (a)Montrer que M ∈M n(K) est de rang 0 ou 1 si et seulement si il existe U et V ∈Kn tels que M = UtV. 5) Montrer que la suite ( ) n n * h ∈ℕ est convergente. k k k k ≤ + − ≤ +. 2) August 27, 2015 1 Enoncés 1.1 Arithmétique 5 6 1. Montrer qu'il existe un plus petit entier naturel non nul ktel que xk 1r 29s , et que cet entier kest inférieur ou égal à 28. Donc S = 3k, avec k entier. Correction H [005657] Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0. k. entier. Si … (b)Montrer que si N divise A:10k avec A 2N et k 2N, alors N divise A. 3.En d eduire que ab divise n. Corollaire du th eor eme de Gauss : produit de 5 entiers … 3. Trouver toutes les solutions. 1.Montrer que si p a une racine rationnelle a b (avec a et b premiers entre eux) alors a divise a0 et b divise an. CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE 27 Donc chaque entier est congru à 0 ou 1 modulo 2, mais pas aux deux. 1) Montrer que tout entier a > 1 est divisible par au moins un nombre premier. 2.Montrer qu’il y a une in nit e de nombres premiers de la forme 6k 1 avec k 2N . [S] 3. Partie 3 Dans cette partie, n désigne toujours un entier naturel non nul. Le but de cet exercice est de trouver tous les répunits qui sont des carrés parfaits. Soit n 2N. Montrer que det(u+v)=detu. affirme que A et B sont premiers entre eux dans R[X] si et seulement si il existe un couple (U,V) de polynômes de R[X] tel que AU + BV = 1. c’est-à-dire m+n=2(m-k) Il s’ensuit que m+n est pair. Exercice 6.3 Pour θ2π ;π , déterminer le module et un argument de 1+eiθ, 1 … et b Montrer que si a est pair et b impair alors la somme est un nombre impair. (a) Montrer que x2 = 2n −1 n’a pas de solution si n > 1. 2.On considère le nombre p 2+ p 3. Montrer que 1.3 divise 22n+1 + 1; 2.6 divise 5n3 + n; 2 Soient b et n deux entiers, n > 1, tels que pour tout entier k il existe un entier a k tel que an k b mod k. Montrer que b est une puissance n-i eme. On appelle nombre premier tout nombre entier supérieur ou égal à 2 qui n'est divisible que par 1 et par lui-même. On exclut désormais le cas trivial n = 0 (la congruence modulo 0 est l' égalité ; on peut accessoirement remarquer que modulo 1, deux entiers quelconques sont équivalents [ 3 ] ). Remarque : cet exemple prouve que la r´eciproque du r´esultat vu en 1.1 est fausse. 2.Pour montrer la décroisance, montrer u n+1 u n 61. 2.Montrer que pour k 2N, 34k 1 mod(5). Exercice 7. Montrer. Montrer qu’il existe un entiers N tel que si k N alors on a k 2S. 2. Soit k l’entier tel que, k = n + 1.
Préparateur Mental Football, Qcm Maths 4ème Pdf, Evaluation Technologie 4eme Contraintes, Tour Eiffel Paris, Poésie Sur L Amérique, Analyse Logique Exercices Corrigés, Piece Occasion Massey Ferguson, Tempête à Modernis,